PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK dan FAKTOR INTEGRAL

PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK
dan FAKTOR INTEGRAL


I. Pendahuluan

Peranan matematika sebagai suatu ilmu pada dasarnya tidak dapat dipisahkan dari ilmu lainnya. Dalam ilmu fisika, kimia, bidang industri, ekonomi, keuangan, teknik sipil, peran matematika terlibat di dalamnya. Satu hal yang membuat ilmu matematika berperan di dalamnya adalah mengenai pemodelan matematika. Banyak fenomena di dunia nyata yang sangat kompleks sehingga dibutuhkan penyederhanaan dari masalah tersebut.
Persamaan diferensial adalah salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalah-masalah fisisi tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Jika model matematika berbentuk persamaan diferensial, maka masalahnya adalah bagaimana menentukan solusi (penyelesaian) persamaan diferensial itu. Misalnya untuk persamaan diferensial dengan koefisien konstan akan sangat mudah untuk menentukan solusinya, tetapi dalam penerapannya pada dunia nyata, ada persamaan diferensial yang memiliki koefisien berupa variabel. Namun, harus disadari juga bahwa tidak semua model matematika yang berbentuk persamaan diferensial mempunyai solusi.


II. Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan Deferensial yang berbentuk disebut Persamaan Deferensial Eksak jika dan hanya jika dan terdapat fungsi yang deferensial totalnya .
Dengan meniadakan lambang x dan y maka . Perlu diingat bahwa diferensial total atau , asalkan turunan-turunan parsial f menurut x dan y ada. Sehingga atau , ini juga berarti bahwa: dan .
Jadi fungsi adalah konstan dan penyelesaian umum persamaan deferensial (PUPD) eksak adalah
(i)

Penyelesaian persamaan diferensial eksak
1) maka:
dan
(ii)
dengan menyatakan bahwa dalam pengintegralan itu y dipandang sebagai suatu konstanta, dalam hal ini adalah konstanta integrasi yang masih akan ditentukan
(iii)
Contoh:
Selesaikan persamaan diferensial berikut:

Jawab:
dan
= 8 xy
(persamaannya eksak)

Penyelesaian

f(x,y)=∫ (3x2 + 4xy2)dx + h(y) = x3 +2 x2y2 + h(y)


f(x,y) = x3 +2 x2y2 + h(y)

Jadi PUPDnya adalah:

III. Faktor Integral
Jika persamaan diferensial : M (x,y) dx + N (x,y) = 0 tidak eksak atau , maka untuk menyelesaikan PD tersebut dikalikan terlebih dahulu dengan suatu faktor tertentu sedemikian sehingga PD menjadi eksak.
Contoh
Tentukan persamaan berikut eksak atau tidak
2y dx + x dy = 0
Jawab
M (x,y) =2y N (x,y) = x PD tidak eksak karena
= 2 = 1
Jika PD tersebut dikalikan dengan x maka akan didapat
x(2y) dx + x(x) dy = 0
2xy dx + x dy = 0
= 2x = 2x PD eksak karena
PD di atas menjadi eksak setelah dikalikan dengan x, x inilah yang disebut dengan faktor integral yang kita singkat dengan V (x,y),
VM + VN = 0 akan eksak jika dan hanya jika


Dari persamaan diatas harga V dapat ditentukan dan memberikan tiga macam kasus / kemungkinan yaitu:
a). jika V hanya fungsi dari x saja atau V = f(x), maka

dikali dengan


Karena V=f(x) saja, maka namakan: h(x)= sehingga


ln V =
ln V = ln
V=
b). jika V hanya fungsi dari y saja atau V= g(y), maka
dikalikan


Karena V=g(y) saja, maka namakan: h(y)= sehingga


ln V =
ln V = ln
V=
c). jika V = k(z) dengan z = l(x,y), maka

Catatan:
1. Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 homogen dan Mx + Ny 0, maka factor integralnya V =
2. Jika Mdx - Ndy = y f(x,y) dx - x g(x,y)dy = 0 dan f(x,y) g(x,y) maka factor integralnya V =
3. PD (py dx + qx dy) + xm yn (ry dx + sx dy) = 0 mempunyai faktor integral V = xh yk jika: dan

Contoh 1
Selesaikan (x2 + y2 + x)dx + xy dy = 0


Tetapi,
VM dx + VN dy = 0
x(x2 + y2 + x) dx + x(xy) dy = 0
x3 + xy2 + x2 dx + x2y dy = 0

cek keeksakannya
persamaan ini eksak

x3 dx + x2 dx + (xy2 dx + x2y dy) = 0
 d ( = 0
 d

 3x4 + 4x3 + 6x2 y2 = c

Contoh 2 : Selesaikan (2xy4 ey + 2xy3 + y) dx + (x2 y4 ey – x2 y2 – 3x) dy = 0
= 8xy3ey + 2xy4 ey + 6xy2 + 1
2xy4ey – 2xy2 – 3
Tetapi, - 8xy3ey + 8xy2 + 4

Maka
VM dx + VN dy = 0

Dicek keeksakannya

Maka ambil f(x,y) =
=
=









Latihan
Dalam latihan 1 – 5, sebagian persamaan difernsial adalah eksak dan tidak eksak. Periksalah keeksakan dan selesaikan setiap persamaan diferensial dibawah ini!
1.
2. (cos y + y cos x) dx + (sin x – x sin y) dy = 0
3.
4. (2x3y2 + 4x2y + 2xy2 + xy4 + 2y) dy + 2(y3 + x2y + x) dy = 0
5. ,
Untuk soal 6-8 periksalah keeksakannya
6. (2x3 + 3xy) dx + (3x + y – 1) dy = 0
7. (4x3y3 – 2xy)dx + (2x4y2 – 2x2) dy = 0
8. (6x5y3 + 4x3y5) dx + (3x5y2 + 4x4y4) dy = 0













DAFTAR PUSTAKA


Santoso, Widiarti. 1998. “Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern” edisi kedua. Jakarta: Erlangga

Dra. Ettie Rukmigarsari, M.Kes, Dra. Sunismi, M.Pd. 2005. modul “Persamaan Differansial”. Universitas Islam Malang.

Ayres, Frank JR, ph. D. dkk. 1999. “Persamaan Diferensial Dalam Satuan S1Metric

Sugiarto, Iwan dan Limansyah Taufiq. 2005. Makalah “Mengkonstruksi Solusi Persamaan Diferensial Linier Eksak Dua”. Bandung: iwan@home.unpar.ac.id