DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan masyarakat modern, matematika dipandang sebagai ilmu pengetahuan masa kini yang meliputi tentang berhitung dan ilmu ukur ruang. Oleh karena itu dibutuhkan suatu pemikiran dengan cara berpikir yang logis, rasional, dan eksak agar dapat menyelesaikan berbagai masalah. Seperti halnya ilmu-ilmu yang lain matematika juga memiliki aspek teoritik dan aspek terapan atau praktik, meski tidak mudah untuk membedakan mana yang tergolong matematika murni dan mana yang tergolong matematika terapan. Hal ini disebabkan oleh keabstrakan dari objek-objek kajian matematika, meski tidak sedikit teori-teori dalam matematika yang dibangun dari realitas lingkungan manusia.
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variable bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya, jika ada. Berdasarkan manfaat – manfaatnya inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.
Di dalam diferensial juga menyangkut fungsi yang mengandung hanya satu variable bebas dan persamaannya. Pengertian diferensiasi, hakekat derivative, kaidah-kaidah diferensial, penggunaannya dalam penyidikan titik ekstrim sebuah fungsi dan penerapan ekonominya diuraikan disini.

B. Rumusan Masalah
1. Kuosien diferensi dan derivative
2. Kaidah-kaidah diferensiasi
3. Hakekat derivative dan diferensial
4. Derivative dari derivative
5. Hubungan antara fungsi dan derivatifnya
BAB II
PEMBAHASAN

1. Kuosien diferensiasi dan derivative
Bentuk persamaan:
= (x)


Dimana x adalah tambahan x, dan y adalah tambahan yberkenaan dengan adanya tambahan x. jadi y timbul karena adanya x. apabila ruas kiri dan ruas kanan persamaan terakhir diatas sama-sama di bagi x, maka diperoleh:

Contoh:
Tentukan kuosien dari diferensi dari y =
=




2. Kaidah-kaidah diferensiasi
Secara umum membentuk turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara terlebih dahulu menemukan kuosiendiferensinya,kemudian menentukan limit kuosien diferensi tersebut untuk pertambahan variable bebas mendekati nol. Jelasnya, langkah-langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1) Andaikan fungsi aslinya adalah y = f(x)
2) Masukan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh

3) Manipulasikan untuk memperoleh

4) Bagi kedua ruas dengan sehingga diperoleh kuosien diferensinya

5) Tentukan limitnya untuk sehingga diperoleh turunan fungsinya



Beberapa kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu.
a. Diferensi konstanta
b. Diferensiasi fungsi pangkat
c. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
d. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
e. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi
f. Diferensiasi perkalian fungsi
g. Diferensiasi pembagian fungsi
h. Diferensiasi fungsi komposit
i. Diferensiasi fungsi berpangkat
j. Diferensiasi fungsi logaritmik
k. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik
l. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-bergitmik
m. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier
n. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-Napier
o. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-Napier-berpangkat
p. Diferensiasi fungsi komposit-eksponensial
q. Diferensiasi fungsi kompleks
r. Diferensiasi fungsi balikan
s. Diferensiasi implisit

3. Hakekat derivative dan diferensial
Kuosien diferensi tak lain adalah adalah lereng dari kurva y = f(x). sedangkan derivative dy/dx adalah lim ( y/ x) untuk x . jika x sangat kecil, lim ( y/ x)= y/ x itu sendiri, dengan perkataan lain derivative fungsi yang
x
bersangkutan sama dengan kuosien diferensinya (dy/dx = y/ x). jadi, untuk x yang sangat kecil,derivative (seperti halnya kuosien diferensi) juga mencerminkan lerengdari kurva y = f(x). uraian mengenai diferensial berikut ini akan semakin memperjelas makna tentang derivative, serta mempartajam pemahaman akan ketiga konsep yang saling berkaitan : kuosien diferensi,derivative dan diferensial.
Untuk fungsi y = f(x) yang linear, lereng taksiran senantiasa sama dengan lereng sesungguhnya, berapapun x. dengan perkataan lain, derivative fungsi linear tak lain adalah kuosien diferensinya, dy/dx = y/ x. berapapun x(= dx), akan selalu dy = y, sehingga dy/dx = y/ x.

y











Keterangan :
1. perubahan x = x
2. perubahan y = y
3. diferensial x = dx
4. diferensial y = dy

5. kuosien diferensi

derivative
4. Derivatif dari derivative
Tergantung dari derajadnya, sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan perkataan lain, turunannya masih bias diturunkan lagi. Turunan pertama sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya.turunan kedua sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga adalah turunan dari turunan kedua, dan seterusnya.

Fungsi awal : y = f(x)

Turunan pertama :

Turunan kedua :

Turunan ketiga :

Turunan ke-n :
Contoh :


5. Hubungan antara fungsi dan derivatifnya

Berdasarkan kaidah diferensiasi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi berderajad “n” adalah sebuah fungsi berderajad “n-1“. Dengan perkataan lain, turunan dari suatu fungsi berderajad 3 adalah semua fungsi berderajad 2; turunan dari fumgsi berderajad2; turunan fungsi berderajad 21; turunan fungsi berderajad 1; turunan fungsi berderajad 1 adalah sebuah fungsi berderajad 0 alias sebuah konstanta; dan akhirnya, turunan dari sebuah konstantaadalah 0.

Contoh :
……………………..fungsi kubik
……………………..fungsi kuadrat
…………………….. fungsi linier
…………………….. konstanta